Фазовые портреты динамических систем
|
Поведение динамических систем изучают в «пространстве состояний». Точка в этом пространстве однозначно задает состояние системы. В простейшем случае, например, для маятника – это плоскость (координата, скорость). Притягивающие объекты в фазовом пространстве – аттракторы – определяют свойства установившегося с течением времени колебательного процесса в системе. Аттрактор (от английского to attract - притягивать) может иметь вид простой замкнутой кривой. Это предельный цикл, являющийся образом автоколебаний. Подход, основанный на таких представлениях, явился революционным в нелинейной теории, поскольку позволил сопоставить эволюции систем во времени наглядные геометрические образы. Он восходит к классическим работам А. Пуанкаре, и был осознан в теории колебаний благодаря работам А.А.Андронова и его школы. В настоящее время построение фазового портреты на компьютере – атрибут почти любого исследования. Экспериментаторы получают фазовые портреты на экране осциллографа. На рисунках внизу представлены фазовые портреты двумерной автоколебательной системы в виде предельного цикла системы Ван-дер-Поля, хаотического аттрактора отображения Эно и хаотические аттракторы двух трехмерных динамических систем – системы Ресслера и Лоренца.
Хаосу отвечает сложная, неповторяющаяся траектория. Благодаря посещению различных областей в трехмерном пространстве фазовая траектория может «запутаться», что приводит к возникновению хаотических режимов. Основной атрибут хаоса – наличие очень сильной зависимости режима от начальных условий. В результате даже очень малое различие в начальных состояниях системы со временем приведет к существенно разному поведению. («Эффект бабочки». Название обязано фантастическому рассказу, в котором гибель бабочки при путешествии во времени приводит к существенным историческим последствиям.) Этот феномен для системы дифференциальных уравнений, известной как система Лоренца, иллюстрируется на следующем рисунке. На начальной стадии реализация выглядит как единственная. На самом деле их много, но они очень незначительно отличаются по начальным условиям. Хорошо видно, что по истечении некоторого времени эти отличия становятся существенными. В результате картина становится «смазанной», хаотической.
Более подробное построение фазовых портретов мы рассмотрим в подпунктах ниже. |
|
